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数学是物理学家用来描写当然步调的说话。要是你思雄伟物理学，就必须学习无数的数学。要是要挑选一个最迫切的、用来雄伟物理学的公式，那等于泰勒公式（Taylor's formula）。

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让咱们从数学开动，雄伟这个公式的一切。假定有某个函数f(x)，

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它看起来果然很复杂，但咱们不尝试一下子领瓦解盘复杂的函数，而是看它在一个更小区域内的情况，这么就简便多了。

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选拔x=0为原点，是以x=0处的函数高度是f（0）。

思象这条弧线是一座危急山脉的花样，而你是一个探险家，在制定它的舆图。由于大雾遮蔽，你无法看得很远。你只可留意性沿着山走，并使用一个高度计来测量你离大地的高度，以此记载它的花样。从这小数x=0开动，你的肇端高度是f（0）。就你所知，整座山可能仅仅在这个高度的一个平坦的水平线。然后，当你尝试在写下一个描写山的高度的函数时，你的第一个猜想等于f(x) = f（0）。

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但当你稍稍向右走了一下，你发现山的高度照旧变化了。是以，它执行上并非一条水平线。就目下你所能看到的，它看起来像一条歪斜的线，斜率由f在x等于0处的一阶导数给出。

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当今，你对高度函数的新的最好猜想是这条歪斜线的方程：

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当今，你再向右走一下，你发现弧线不是一条直线。相背，它开动像抛物线一样偏离直线。

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是以当今你预测，函数有一个更好的类似，带有x的平时项

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你可能发现，通过包含x的更多幂——x的3次幂、4次幂等等，可能能得到一个对于函数的更好描写。

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当今，你思将函数f暗意为x的幂的和，有总共c0、c1、c2等等。问题是如何选拔这些数字，使得这个级数与f相匹配得很好。咱们照旧看到前几个总共是什么了，现代入x=0，除了第一项其它总共项皆褪色，得到

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因此，级数中的第一个数字是肇端点x=0处的函数值。至于c1，咱们先取导数，得到

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当今，当咱们代入x=0，c1项保留住来

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要是再次取导，得到

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因此，现代入x=0，得到

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如斯反复，对于乞降中的x的n次幂项，需要取n次导数，每次导数皆带下一个幂——最初是n，然后是n-1、n-2，依此类推，一直到3、2、1。

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是以第n个总共是

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咱们照旧将函数f写为x的幂的和，

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当x非常小时，每个x的更高次幂比之前的还要小得多，是以仅通过保留级数中的前几项就照旧得到了一个很好的类似。跟着x离x=0越来越远，为越过到函数的一个好描写，需要在级数中加入更多的项。有了总共的一般公式，咱们不错加入尽可能多的项。当n变大时，级数类似与弧线的匹配越来越好。

这口舌常了不得的。这意味着要是咱们知谈在一个点上一个平滑函数的总共导数，就不错重构出函数在其他方位的花样。底下是几个常见的泰勒函数伸开式，

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平庸在物理学中咱们并不果然温雅通盘泰勒级数，咱们的确思要的是一个复杂函数的好的类似，使问题更简便去处理。

物理学

第一个问题是，如何简化复杂的物理方程？在经典力学中处理问题的基本技术是写下粒子上的总共力，然后加它们起来，写下

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然后求解这个方程，找到粒子的位置行动时刻的函数。这提及来容易但作念起来难，尤其是临了一步解方程，因为除了最简便的系统外，这个方程平庸难以精准处理。

F=ma 是一个微分方程。微分方程比咱们在中学和高中学到的代数方程要艰深得多。一个简便的例子，等于单摆（Pendulum）,

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在求摆的畅通时，咱们主要温雅的力是粒子轨迹的切线想法的重力重量，即

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其中θ 是摆与垂直轴酿成的角度。那么F=ma 不错写成θ 对于时刻的二阶导数，

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尽管这个物理系统看起来很简便，但由于这个sinθ因子，这个方程照旧变得非常复杂，sinθ使它成为一个非线性微分方程，尝试求解可能会非常辣手。另一方面，当θ 很小时，你不错思象一个单摆轻轻地往复摇晃，就像一个钟摆。那么当θ相对较小时咱们是否可能简化这个方程呢？泰勒级数让咱们能作念到这小数，因为

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对于很小的θ，不错类似为，

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这个复杂的F=ma 方程变得大为简化，因为让这个方程成为非线性微分方程的sinθ因子褪色了。通过时骗泰勒级数，咱们大略线性化这个微分方程，使咱们大略在单摆离均衡点不太远时更容易处理。

这等于一个简谐震憾器的方程，就像一个弹簧上的质料，一般解是正弦和余弦的和，

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其中角频率为

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因此，这个单摆确乎会轻轻地往复舞动。总共，咱们在职何物理问题中应该最初作念的是用泰勒级数在一个踏实均衡点隔壁伸开势能函数

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在这里我选拔我的坐标，使得均衡点在x=0处。第一个项U（0）仅仅一个常数，卑不足谈。你老是不错调动势能函数的基准面，并将这个常数排斥。同期，第二个项也褪色了，因为咱们选拔在势能的最小值点（U等于0的方位）进行伸开。因此，在均衡隔壁的势能的泰勒伸开的第一个需要隆重的项平庸是二次项，这就像一个在弹簧上的质料的势能一样，

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这等于系统在其均衡位置隔壁往复震憾的原因。至于力，Betfair它与势能通过

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关联，因此，在均衡隔壁粒子上的力的泰勒级数从

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开动，这又恰恰像弹簧力−kx。终点是，力是线性的。是以，在踏实均衡点隔壁伸开势能的手段，执行上等于线性化F=ma 方程。

第二个问题是，爱因斯坦的广义相对论的牛顿极限。在牛顿力学中，一个解放粒子的动能是

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另一方面，要是咱们代入动量p=mv，咱们不错写出不异的抒发式，即

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这是一个具有动量p的非相对论解放粒子的能量。非相对论意味着粒子的速率与光速比拟非常小。当粒子接近光速时，会发生一些奇怪而谬妄的事情，这在轻便100多年前被爱因斯坦在他的广义相对论中发现。在广义相对论中，一个质料为m、动量为p的解放粒子的能量由这个新公式给出：

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其中c 是光速。即使你从未筹备过广义相对论，你之前也见过这个，因为要是粒子处于静止情景，即p 等于0，咱们得到

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这可能是物理学中最盛名的方程。关联词，当粒子在出动时，咱们需要这个更一般的公式，包括来自动量的孝顺。这个公式即使粒子的速率接近光速也建立。另一方面，咱们知谈当p很小时，能量应该是什么。那么咱们如何看到爱因斯坦的公式正确地再现了牛顿的慢畅通粒子的公式呢？虽然，思法是当p很小时，期骗爱因斯坦能量公式的泰勒伸开。

最初，让咱们提真金不怕火出mc^2，像这么写出通盘抒发式

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这么就明晰地标明，咱们当今要作念的是揣测打算底下这个函数的泰勒级数（当x很小时），

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其中，x为

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这种类型的泰勒级数在物理学中平庸出现，一般的花样为，

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在这个例子中，q=1/2。这种类型函数的泰勒伸开式为，

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回到相对论性能量，只需插入q=1/2和

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得到

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第一项是E=mc^2，这是相对论中的静止粒子的能量，它在牛顿力学中莫得径直类比。但另一方面，这仅仅一个常数，你老是不错在牛顿力学中向总能量添加一个常数。至于第二项，咱们看到泰勒级数如何精准地再现咱们在牛顿力学中预期的动能。

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泰勒级数中的下一项是，

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这该如何雄伟呢？要点是，牛顿力学是对那些远小于光速畅通的粒子的一个很好的描写，但这仅仅一个类似。这一项是牛顿能量在与光速比拟速率细微的情况下的遍及相对论修正。而这个稀疏的项给出了牛顿效果的一个非常小的修正，咱们不错在不失太多准确性的情况下忽略它。关联词，当速率变大时，这个修正变得越来越迫切。咱们不错在氢原子的纠合能中看到这个修正的影响。这是用来将电子从它的“轨谈”中踢出去的能量。

底下，我向你们展示如何只通过时骗量纲分析就不错得到纠合能谜底的90%。最初，列出不错使用的参数偏握单元，并望望如何将它们组合起来得到咱们思要的单元。在这种情况下，咱们看到咱们不错将电子质料、其电荷、库仑常数和普朗克常数组合起来得到能量单元，

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这么一来，氢原子的纠合能就必须与此成比例，

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仅仅像这么考虑单元就让咱们接近谜底了。执行上，纠合能的公式带有一个二分之一的总共，咱们不可只通过考虑量纲就能得到它，因为2莫得任何单元。这是波尔的氢纠合能的公式，

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它是量子力学的第一个伟大建设之一。它的数值值约为13.6电子伏特，与纠合能的实验值非常接近。关联词，波尔的公式仅仅一个类似，它忽略了由于广义相对论产生的可实验不雅察到的效应。

但量纲分析的问题出在了何处？问题在于，在写下纠合能的非相对论类似时，咱们不详了光速c。因此，要是思要包括广义相对论的效应，需要考虑c是如何参预能量公式的。关联词，当咱们把c 添加到参数列表中时，会发生一些超卓的事情，得到一个无量纲的组合，

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这个组合被称为雅致结构常数（Fine structure constant）。要是带入数字，会发现α 约等于0.0073，或约等于1除以137。由于α 是无单元的，量纲分析不会告诉咱们它在能量公式中是如何出现的。

这是如何允许相对论对波尔公式进行小的修正的。关联词，咱们不错通过考虑相对论修正获取一个更好的表面预测，那等于咱们通过将泰勒级数期骗于爱因斯坦的公式所得出的阿谁遍及的相对论修正。咱们不错细则相对论给波尔公式作念出的小的修正。细节需要量子力学，是以在这里不会潜入照管。

第三个问题是，泰勒公式与量子力学中动量界说的关系。在经典力学中，主要问题是求解行动时刻函数的粒子轨迹x(t)。另一方面，在量子力学中，决策是找到波函数

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以及它如何随时刻演变。在进行测量时，波函数或者它的平时越大，你就越有可能在阿谁位置找到粒子。咱们测量粒子的那些量物，比如它的位置和动量，由作用在波函数上的算符暗意。测量位置的算符写为

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测量动量的算符写为

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动量算符与空间平移密切联系，是以让咱们界说一个算符，

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它将波函数出动ε，

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抛开物理，这看起来很老到，ψ(x) 仅仅一个函数，这个公式告诉咱们咱们在寻找一个将ψ(x) 移到ψ(x−ϵ) 的算符，那恰是泰勒公式的作用。因此，咱们识别移位算符

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由于咱们当今不会潜入探讨的原因，这个移位算符与动量算符通过

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关联，对比双方，泰勒公式告诉咱们咱们应该将量子力学中的动量算符识别为

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当你开动学习量子力学时，这将是你将学习的第一个公式之一。它径直来自泰勒公式。

这仅仅泰勒公式出现的物理期骗的一小部分少儿篮球培训哪家好，你会在每个方位皆看到泰勒公式。

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